2024-11-05 15:02 警惕“平均数”的陷阱
无慢室©关注本文是关于《Ergodicity》一书的阅读笔记,附带与作者相关的其他资料的记录与思考,来自微信公众号:无慢室,作者:彼得张Peter,原文标题:《<Ergodicity>—“平均数”的陷阱》,题图来自:AI生成
文章摘要
《Ergodicity》探讨非遍历性对决策的影响。
• 🎲 探讨非遍历性导致平均数的误导
• 💡 通过硬币试验揭示概率思维误区
• 📈 强调投资中重视胜率而非赔率
最近读了本新书,叫做《Ergodicity: Definition, Examples, and Implications》,作者是Luca Dellanna[1],是个意大利裔的咨询顾问,其方法是应用工程学思维解决管理问题,而他对于遍历性(Ergodicity)问题的阐述,深入浅出,让我大为震撼,以前竟完全没想过。
一、何为遍历性Ergodicity
所谓的遍历性(Ergodicity),是个应用在统计学/物理/工程学的专业名词,看着挺复杂,实际却不难理解。在一个概率实验中,如果一千个人同时做实验一次所得到的结果,和一个人重复一千次实验所得到的结果是相同的,那么就可以说这个实验特征是具有遍历性的(ergodic),否则就是非遍历性的(non-ergodic),在统计学上,这是个集合平均(ensemble average)与时间平均(time average)是否相同的问题[2]。
最典型的例子,就是俄罗斯手枪轮盘,试想一下:一把容纳六颗子弹的手枪,只安装一颗子弹,转动轮盘,然后冲着脑袋开一枪,如果没死就给你一个亿,死了就挂了。如果6000个人同时做这个实验,结果就是死了1000个,剩下5000人每人拿走一个亿,这个游戏的胜率是83%,预期收益就是8300万。但是,如果一个人重复进行这个实验,很明显是必死无疑的,因此集体重复一次,和个体重复多次,在结果上有很大不同,这就是非遍历性的。
实际上,由于有人类生命的不可逆和资源的有限这两个约束条件,发生在人类社会中的几乎所有事情,都是非遍历性的,这就使得我们在学校当中熟悉的算术平均数几乎失去了意义,不仅如此,还具有重大的误导性。
二、The Peters Coin Toss
一个公平的硬币,出现正面反面概率都是50%,如果出现了正面就给你50%,即100块变成150块,如果出现了反面就扣减40%,即100块变成60块。这买卖怎么样呢?
根据中学的概率论知识,我们知道这个游戏的预期收益率是:50%*(1+50%)+50%*(1-40%)-1=5%,也就是具有正的5%的期望平均收益率,100块钱投进去,变成105块钱,很简单,概率站在我们这边。
然而,如果实际作为参与者,玩个几轮,你就发现自己归零了。很反常识、反直觉。
这就是 “The Peters Coin Toss”[3],游戏的设计者叫做Ole Peters,是个物理学家,也是伦敦数学实验中心(London Mathematical Laboratory)的遍历性经济学研究的领头人(Program Lead for Ergodicity Economics)。他设计了这个简单的扔硬币游戏,来说明遍历性的重要性以及对我们现实生活的影响。
实际上,期望的收益率5%并没有错,但是这个5%是基于集合平均的统计概念,即如果1000每人发10块钱一起扔硬币,一共投入1万块,一轮下来一万块预期就会变成10500元,然后下一轮再继续……由此进入了稳赚不赔的循环,初始的1万块就按照5%的收益率一轮一轮地滚动下去,概率发挥了作用。
然而,如果作为一个个体,你没有一千个分身,这种统计结论根本没有意义。一个个体的投资收益率反而是几何平均数,即(1+50%)*(1-40%)^(1/2)-1=-5.1%,也就是负的5%!100块投进去,第一轮赢了变成150,第二轮输了变成90……以此往复,虽然看上去胜率公平赔率占优的赌注上,却注定了归零的结局。非常反直觉。
作者还站在个人的角度,模拟了无数次个人投资的分布,结果如下:
可以看到,随着轮次的增加,归零是必然结果。这就是非遍历性的游戏,投资如此,人生亦如此。我在惊奇之余,还拿Excel自己算了算,还真是这样,不禁感慨,可惜在中学课堂上,老师们都在教会我们研究算术平均数,但对于跟现实联系更紧密的几何平均数,却所言甚少。
我们经常说概率思维,其实比盲猜已经进步不少,但是面对这样一个看起来“胜率赔率”很划算的买卖,却出现了必然归零的结果,这就是出现了整体与个体的问题,这也就是遍历性所研究解决的问题。回到生活,其实一切有意义的活动都是基于个体,因而我们所面临的几乎所有决策、投资、生活、处境,都是非遍历性的问题,实在不可不反复理解。
三、对于投资的启示
同样地,在投资中思考胜率和赔率当然是不二之法,但除此之外,对于非遍历性的认识,可以帮助我们避免很多误区,比如上面扔硬币看上去很好的胜率赔率分布,实际上却注定了归零的结果。
对于个体而言,我们都知道亏损50%需要翻倍才能回本,并且时光不能倒流,你只能基于上次的结果继续往前走,因此胜率重于赔率的选择似乎是明智之举,因此巴菲特才说投资的核心就是“不能亏钱”。
但是,这究竟是个投资风格的偏好,还是客观规律的必然呢?我现在认为是后者。
我们可以把整个投资组合当成一个整体,每年或者三年/五年当成一个阶段,你的整个投资周期就是由多个“阶段”组成,而“阶段”之间又是彼此衔接且不可逆的,因而可以看出,如果投资周期越长,其具有非遍历性的特征也就越大,如果只有一个阶段,即很短的时间周期,高风险高回报策略也无可厚非,很可能结果更好,极端情况就是俄罗斯轮盘。
由于我们的人生很长,理想情况下投资周期也很长,而根据复利原理,时间又是一个至关重要的因素,因此对于“投资复利”这项活动本身,寻求非遍历性的安全策略,也就是几乎无可争议的理性策略,因而“胜率”重于“赔率”,甚至都不是投资风格的偏好,而是站在长期中基于科学概率的结果。
但是,如果胜率重于赔率是个“客观规律”,怎么解释种子基金/风险投资的成功策略呢?毕竟一个项目投成了,几百倍回报就覆盖了其他所有亏损。我现在认为这需要同时满足两点,第一是足够的分散,第二是足够的高回报,同时满足的情况下,种子阶段的无数投资,就在整个组合层面构成了“胜率重于赔率”的应对非遍历性的策略,毕竟谁能成功不知道,有人成功就行,“赛道论”也有一定道理。
但是,这两个条件,在二级市场几乎都没法实现,因而对于二级市场来说,根本没有这个问题。胜率重于赔率是在长期中取得回报的几乎唯一方法,如果不是,那就是期限还不够长,再拉长就是了。
四、其他衍生思考记录
其实生活中的方方面面都具有非遍历性特征,理解这个概念,对我们观察生活多了一个难得的理性视角:
比如作者在书中举的滑雪例子,要完成六轮比赛,才能获得大满贯,然而最终的冠军不是滑得最快的,而是能完成比赛的人里面滑得最快的。因此夺冠的核心不是每场比赛都拼尽全力地出色表现,而是先要保证安全地完成六轮比赛,否则每场都逼自己到极限,可能中间某次职业生涯就终结了;
比如平均深度过河,水深平均一米六,我身高一米八,这个水深的平均值也一点没有意义。因为平均一米六的河水,很可能中间有部分超过2米,而我往前走却需要时时刻刻都不能被淹没;
比如上面说的俄罗斯轮盘,83%的胜率,作为整体投资1000个人参与,问题不大,作为个体,你却要离得远远的;
如此种种,生活中处处充满了非遍历性,让理论上平均数对生活本身没有一点指导意义。我不禁想,这是为什么呢?
第一,现实生活的不可逆。
上一轮的终点,就是下一轮的起点,在不可逆的情况下,所谓的平均数都没有意义。比如股息率是8%,我为什么不能用4%的融资杠杆来“无风险套利”,因为股价跌了就平仓归零了,这就是不可逆的。同样地,比如整体股票市场长期年化回报率是10%,你也不能用4%的融资杠杆来买入持有,因为股票下跌平仓后的反弹,才是这种所谓长期收益的来源,平仓后就归零了,这是不可逆的。
同样地,除了投资归零的影响,生活中的所有事情也都是不可逆的,未必是永远出局,只是阶段性的重大“损失”,就会对结果造成巨大影响。比如运动受伤了不可逆,休养一年重返赛场,远不如细水长流的锻炼进步;比如生意亏损了不可逆,亏一年几年白干的影响,远远不如稳定的少赚一点;比如婚姻出轨的感情伤害也是不可逆的……等等,面对所有不可逆的结果,都不能冒着侥幸心理赌一把,最终结果往往得不偿失。
第二,大数定律的陷阱。
凡是概率相关原理,总是逃不开大数定律,这是归纳总结的精华,对于“整体”的规律思考很有帮助。但是,凡是隐含了大数定律的结论,对于个体而言最大的问题,就是没有用。嗯,没有用。
比如上面说的平均数(Average),有一个前提假设就是大数定律,这需要有“大量尝试”,但是现实生活的不可逆性,阻挡了你“理论上”的大量尝试,因而也就阻挡了你的个体结果向“期望数值”靠拢。即使我们拥有1000个平行宇宙中的人生,你所做的决策,也需要保证自己在足够多的宇宙中保持成功。至于当下这个现实的人生,平均数不仅没用,反而会充满误导。真的有点参考性的,反而是我们在学校中并不太关注的几何平均数。
认识到上述两点,如何应对也就是顺理成章了:
一方面,要处理生活中的不可逆,首先是不能归零,这就是为什么无论如何不能用杠杆投资,另外就是在不归零的情况下,也要极尽全力避免损失,赚多赚少不重要,不能亏钱,并且早赚晚赚都一样,因为几何平均是年化收益率相乘再开方,乘法彼此可以调换位置,不用急于一时。
另一方面,虽然我们不能控制结果,但是在基于胜率赔率的选择中,一定要确保足够高的胜率,才能让处于1000个平行世界中的我,大多数都有个好的结果,因而这个“当下的世界”中的我也才能有更好的概率,毕竟只有这个当下的我,才是我最切身关心的。
综上,对于现实世界的非遍历性特征的认识,能够帮助我们获得一个看待生活的崭新视角。想通了也不难,可能很多人早就知道,觉得直白易懂是个本能,但是我竟是第一次从这个角度认识问题,看来理科都白学了。
不过,慢慢来吧。进一寸,有一寸的欢喜。
相关资料:
[1]https://luca-dellanna.com/
[2]https://luca-dellanna.com/what-is-ergodicity/
[3]https://ergodicityeconomics.com/2023/07/28/the-infamous-coin-toss/